Ян-Питер Свелинк родился в 1562 году в Девентере. Сначала Яна обучал отец, который умер в 1573 году. Питер Свенлинк воспитывал сына в духе старонидерландских традиций. С ним также занимался флейтист Я. В. Лосси. Образование Ян продолжил в Венеции, куда был послан управлением города Амстердама. В Италии он обучался у Царлино и, вероятно, Габриели и Меруло.
Прожив в Италии с 1578 по 1580 год, Свелинк вернулся на родину, где стал органистом «Старой церкви». Интересно, что в этой амстердамской церкви работал отец Яна-Питера, а после — его сын Дирк, родившийся в 1591 году. В это время Свелинк знакомится с творчеством английских вирджиналистов — в частности с Буллом, Филипсом, а также Дирингом, переселившимися во Фландрию из-за начавшихся в Англии религиозных смут.
Свелинк прославился как исполнитель-органист не только на родине, но и далеко за ее пределами. Музыкальный словарь Вальтера (1738) называет его «чудом среди музыкантов и органистов». Особенно сильное влияние Свелинк оказал на немецких органистов, таких как С. Шейдт, Я. Преториус, Г. Шейдеман. Для них музыкант составил «Правила композиции».
Свелинк принимал активное участие в музыкальной жизни города в качестве члена объединения музыкантов и любителей музыки Амстердама.
Питер Свелинк, которого называли последним великим нидерланцем, умер 16 октября 1621 года в Амстердаме. К сожалению, после ухода из жизни его учеников во второй половине XVIII века имя великого музыканта было забыто. Период забвения закончил благодаря настойчивым изысканиям М. Зейфферта, которому удалось восстановить многосторонний творческий облик гениального голландского органиста.